国学象数学学题系列

学题文图证论 自然数是三个三角形数之和

商高老先生曰，

數之法出於圓方，圓出於方，方出於矩，矩出於九九八十一。

 

我就是π  004

我是π ，自由的π ，

如何理解微积分

首先必須澄清極限概念（無窮小的概念更困難）以及連續函數的基本性質，而這些又都建立在實數系 R 上面。
因此，我們要問：什麼是實數系？

笛卡兒與費瑪利用座標系的辦法，直觀地將「實數系 R」與「連續的直線」，等同起來，因而創立解析幾何。但是，這樣對於實數系我們還是沒有真正的了解。

原因之一，我们缺乏理解自然数“生辰八字”的谱系图：
象数图！！！

有了这个图，就异常的直观，简单的处理现代数系里复杂的概念和表达式。

座標系在象数图中就是十字梁木！我把她称谓中坐标。正方的四边构成正四坐标

纬方的四边构成四纬坐标。

还有一个自由坐标，简单的称谓是：足不出户，因为这是一个整体性观念的动态的点坐标，是一个自然坐标，可规定为2π，π，四分之一π，二分之一π。。。

等于一，等于方。。。

注意，根据自然系里的阴阳法则，用中之，方为法则，才能表达零坐标叠压和藏一自然法则。正确的运用这个自然法则，才能完全彻底地表达商高定理的核心和奥秘。

比較建構性的辦法是，由 1 出發，不斷加 1，就得到自然數系：

N = {1,2,3,...}

再不斷減 1，就得到整數系：

Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}

接著考慮整數的相除（除數不為 0），得到有理數系：

考察商高原始数学和毕达哥拉斯學派「萬有皆整數」的觀點，有理數系（整數及其比值），就足以應付一切幾何的度量問題。通易经的朋友会为这句话欢呼。換言之，將 Q 的元素表現為直線坐標系已經填滿整條直線而沒有漏洞，叫做有理數線。後來毕达哥拉斯學派發現了無理點（無理數），在中国原始数学中 ，由方圆引入了度的概念。而点的概念，一直隐藏起来，本人以　π 之名，将不间断的推出来。。。

現在在西式数学中唯一不明的是：線段含有無窮多點，這個「無窮」是什麼？可否進一步說明？「連續統」(continuum) 是什麼？

在象数图里，我们可以将这个“無窮多點”的线段理解为一个“小方”＊九畴为一单位。或者，理解为环，等一的　π 概念下，会生成和四象，五行，八卦，六合以至十方世界的观念，以及这些观念的纲领性正统理念：洪範皇极。我们又返本归真到达原始哲学，此在，我π 是彻底的人文的：因为π 和我合而为一：我是一个自然人，会说话的动物：有理性的自存在活物。我的有限性确立了我的存在不再是假设，和我在一起的π 当然亦不再抽象，他被按照其作用被不同的定义为等一，等二，等三。。。

每个自然象数为一单位。这个由二（环，直线，π）转入三（三角，正方，2π）的理解。大大简化了无限概念，将不确定的有的概念，转化成无数个确定的“三点，四点，五点，八点，十方”的有确定点数的观念使用：这就是无为之有所为。

这个用法是没有使用假设，而是基于物理世界的真实：先天象数，特别是先天八卦的自然基数走势告诉人们，自然界的中心，绝对的零态是无法作为开始的，如果我们已经定义了自然数的序数，直观地说，人和自然数的运动次序的起点是从“环”上开始的——先天八卦，正方纬方都在整体意义上表达出这个事实。中心，即五，无，是一个落空区，（黑洞？旋涡？风眼？）一个先天具有的，后天成就的绝对零态：静止，永恆於瞬息，具有「不可列加性」，是不可能成为起点的。运动和整体的概念本质上是有方向性的回路的，才具「可列加性」，周而复始，循环往复。

在这个意义上，我喜欢高斯的数学理念，因为高斯对任何概念的表达和把握都是建立在真实的基础上，而不是以逻辑的假设规定概念的起点的。这是一个伟大数学家的标志。

Gauss, 1777～1855）說：

涉及無窮大的量，如果指的是「實在的無窮」，這種用法在數學中是不允許的。

顺便提一句，高斯对费马定理的冷淡，实际上就是对人们提出了如何把握概念的忠告和警告。

一個集合若存在有部分子集，其元素個數跟全體的一樣多，就叫做無窮集。其实之上，是有穷尽的，或趋于零，或者寓于一。在纯数论中，没有大与一的，也没有小于一的，这个绝对概念确立了任何持续的次序的对称和整体性以及其特立独行的丰富性之间必然的关系：没有偶然的现象，

兩個集合的元素個數一樣多，是什麼意思？康特利用對射 (bijective mapping or one to one correspondence) 的概念，來剖析無窮。如果兩個集合之間存在有一個對射，則稱此兩集合的元素個數一樣多，或具有相同的基數 (cardinal number)，進一步，他將集合分成可列集 (countable set) 與不可列 (uncountable set)：一個集合如果是有窮集或可跟自然數集形成一個對射，則稱此集是可列的，否則稱為是不可列的。

康特證明了：有理數集與代數數集 (algebraic numbers) 都是可列的，但是區間 [a.b] 及實數系都是不可列的。換言之，實數系 R 的無窮比自然數的無窮還要高級，所以超越數 (transcendental numbers) 存在。甚至他還證明：區間 [0,1] 與正方形 [0,1] x [0,1] 的點數一樣多！
你们看，这些理论大大地違背直觀常識！康特在1877年寫信給好朋友戴德金說：「除非我能從你那裡得知我的證明的對錯，否則我是放心不下的。在未得你的證實之前，我只能說：我看到了它，但是我幾乎不敢相信！(I see it, but I don't believe it!)」

真好玩极了！玩疯啦
我是π ，自由的π 。。。
我在唱歌呢。。。

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我就是π  002

我就是π  002 关于（π ）等式
宗教的神话　＝　一个数学上的游戏！

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　下面是德文；什么是音乐，精彩极了，出现了自然数的原始结构！

老子道德全经第１４章道纪中的“大音”的人文传达。。。

Musik

ist empfundene,

verzeitlichte,

hörbare Mathematik
 

In welchen Dimensionen erlebt sich Musik?
 
Wissen wir, was Musik ist?
 
Vielleicht die Ordnung und ordnende Überformung von Schwingungen, von periodischen Spannungsausgleichen im Spektrum der Klänge und Metren?
 
Denn zunächst sind Töne Schwingungen, bei denen immer die Vielfachen der jeweiligen Frequenzen mitschwingen, also deren Doppeltes, Dreifaches usw. Und interessanterweise sind eben dies die grundlegenden Intervallverhältnisse, in denen sich unsere Leitern und Harmonien ordnen: Die Zweierpotenzen – das Zweifache, Vierfache, Achtfache usw. der Frequenz des zugrundegelegten Tons – klingen als Oktavierungen; in den Dreierpotenzen ist der Quintenzirkel angelegt; die Dreierreihe – dritter, sechster, neunter usw. Teilton – wiederholt das ganze System der Teiltonreihe in der oberen Quinte, also in der Dominante des zugrundegelegten Tons, der schon selbst in den ersten sechs Teiltönen einen sauberen und stabil geschichteten tonikalen Dreiklang entfaltet, dessen Grundton dreimal – erster, zweiter, vierter Teilton – und dessen Quint zweimal – dritter und sechster Teilton – vorkommt; die Terz dieses Durdreiklangs wird durch den fünften Teilton beigebracht; der vierte und fünfte Oktavraum über dem Ausgangston gibt reichliches Ableitungsmaterial für verschiedene siebenstufige Skalen und die chromatische Leiter.
 
Die Verhältnisse erscheinender Töne zueinander können selbst wiederum dem Prinzip kleinster gemeinsamer Nenner ihrer Frequenzen folgen und dabei ihre "Atomhüllen", ihre mitschwingenden Teiltöne, zur Deckung bringen. Harmonien erscheinen wie molekulare Verbindungen. Welch eine Chemie tut sich da auf!
 
Klänge, Schwingungsverhältnisse interferierend in kleinsten gemeinsamen Nennern, in Harmonien akustisch transparent, so wie Kristalle makroskopisch ihre Atomgitter repräsentieren; dann die niedrigeren Frequenzen unterhalb des tonalen Spektrums, etwa in der Bandbreite unserer Herzschläge, Schritte und sprachlich artikulierten Silben, die Metren verdichtet zu rhythmischer Gestalt; schließlich die Periodik strophischer und noch weiter gespannter Gliederung; – aber ist damit schon das Reizvolle gelungener Melodien erklärt? Oder braucht es dazu nicht zumindest den Schritt von der anorganischen zu einer Art organischen Chemie des fließend-offenen dynamischen Klangsspannungs-Ausgleichs?
 
Das Kulturphänomen der "tönenden Form" hat an der Teiltonreihe eine Naturseite von solch physikalisch-mathematischer Grundsätzlichkeit, daß der staunende Analytiker die menschliche Tätigkeit leicht vergißt, die diese Naturgesetzlichkeiten nutzt und zu einer neuen, der Sinnenwelt nicht physikalisch vorgegebenen Welt aufschließt.
 
Interessanterweise geschieht dieses Aufschlüsseln schon im Sinn des Analytikers, überhaupt bei jedem Musikhörenden, wie noch zu zeigen ist.
 
Man vergleiche, wie die Stoffwechsel- und Nahrungskreisläufe und vor allem die raffinierten Selbstentfaltungen und Reproduktionen der Organismen die chemisch-elektrische Spannung der Atomhüllen in ihrer Molekülsprache nutzen und den zweiten Hauptsatz der Thermodynamik, daß alles im Chaos zu stranden strebe, mit klügeren Prinzipien überformen. Leben bahnt sich seine Wege durch Totes, Sterben ist als mitwirkende, ja notwendige Ursache dem organischen Gesamtsystem der Organismen immanent. Das fließende Ungleichgewicht nimmersatter Lebensgier dreht sich durch die befriedigende Auflösung ins unbeschreiblich-All-Eine, und dieses wiederum erfährt sich durch jenes Werden als dessen Identitätsachse und Erfüllung.
 
Ähnliches, nur auf anderer Ebene, scheint sich in "der Musik" zu vollziehen. Zwar nicht mit der Erfahrung geologischer Zeiträume (aber man beachte den großen Sphärenakkord der Planeten), also noch nicht so vielschichtig überarbeitet, verselbständigt und konzentriert wie das sich fortpflanzende Leben – oder welche Engel, welche Musen mögen bereits in der Organik der Harmonien-Chemie ihre singenden Schwingen öffnen und ihre apollinische Nervenharfe stimmen? -, aber für uns Menschen zumindest ist die musikalische Struktur der Organisation der ebenfalls recht jungen Sprachen vergleichbar, von denen wir auch nicht wissen, wie sie entstanden sind.
 
Sprachen basieren auf Klängen hinsichtlich deren Artikulierbarkeit in Silben; diese wiederum sind nach grammatisch-syntaktischen Regeln durchformt, in deren Gesetzlichkeit dann gedachte Inhalte zum Ausdruck gebracht und mitgeteilt werden können.
 
Sofern Tönen eine Art der Mitteilung an Wesen ist, die Ohren haben zu hören, hat Musik mit den Sprachen gemeinsam, die sich mitteilende Form zu sein. Nur, daß sich bei Sprachen eine intentionale Inhaltsebene über die der grammatischen Form lagert bzw. die Kongruenz der Syntax mit der logischen Form des Gedankens zur allgemeinen Verständlichung innerhalb der Sprachgemeinschaft nutzt. Und das bedeutet, daß die geformten Klänge der sprachlichen Sätze anderes meinen und mitteilen, während sie in der Musik sich selbst darreichen, eine ihnen immanente Ordnung ausfalten. Doch was ist dieses Innenleben der sich selbst offenbarenden Klangwelt? Und welche lebendigen Kräfte falten die dem akustischen Material innewohnende Form aus?
 
Das innere Wesen der Schwingungen ist, so möchten wir vermuten – die Zeit.
 
Aber was ist Zeit?
 
Eben durch "Musik" wird Zeit offenbar als Feld, Dimension ihrer Gestaltung, ihrer Erwartungs- und Erfüllungs-Spannungen und -Lösungen; insofern Musik per se offenbart, was "Zeit" ist, bekommt sie einen kosmisch-umgreifenden Charakter. In dem Sinne setzen wir zunächst eine phänomenologisch-metaphysische Erörterung der "Zeit" der weiteren Untersuchung voraus.
 
Jeder wache Mensch ist – jetzt: Bewußtsein im immerwährenden Nun. Zugleich ist Inhalt seines Bewußtseins etwas, das in Vergangenheitsrichtung den Keimpunkt des immer gegenwärtigen Jetzt verläßt, durchaus individuell im Schriftzug seines tätigen und erfahrenen Lebens, seiner Biographie, aber wiederum lesbar dem nachschreibenden Verstand. Gegenwärtiges Bewußtsein richtet sich dabei immer auf Vergangenheit, auch dann, wenn es durch die bewußten Inhalte nur hindurchgeht, um deren logischen Zusammenhang mitformend oder nachformend zu verstehen, wo es also durch das Vergangene hindurch sich eigentlich auf sich selbst richtet, auf die sinnstiftende Einheit seines Begreifens.
 
In dieser Weise liegt Zeit allen Weltinhalten zugrunde, allen Erfahrungen, Vorstellungen und Imaginationen noch bis an den feinsten Quellpunkt der Inspiration im Jetzt heran. In ihr sind die Inhalte als Erinnerung bewahrt.
 
Sobald die zeitliche Matrix alles Erfahrenen selbst in Augenschein genommen wird, zeigt sich diese Erinnerungsqualität, diese Bewußtseinsimmanenz aller vergangenen Ereignisse, denn wo sonst sollen sie ihre Wirklichkeit bewahren, wo nur das Jetzt als unleugbare Wirklichkeit gegenwärtig ist? Und doch begreifen wir nur Vergangenes als "wirklich", während das Ich sich selbst nicht als Inhalt faßt, wie das Auge nicht sich selbst sieht.
 
Das heißt, Zeit ist die Dimension der Selbsterinnerung, Selbstidentifikation aller inhaltlichen Welt in einem jeden Bewußtsein. Zeit ist das Sichbewußtwerden aller Dinge, aller Wesen. Das Selbstverhältnis einer jeden Bewußtseinswelt, Wandlung ihrer Tätigkeit in Erfahrung.
 
Und wie inneres Sprechen und Verstehen im Denken die Form mit sich selbst verständigen läßt, geschieht dies auch im inneren Singen und Hören. Schon hier zeigt sich eine Ordnung oder ordnende Intelligenz, die auf Instrumente ihrer Versinnlichung nicht angewiesen zu sein scheint. "Empfundene Mathematik", sagt unsere Tradition und meint damit das harmonisch transparente Schwingungsspiel in der Bewußtseinsmatrix aller Erfahrung.
 
Folglich wäre Musik Geist. Und es ist ein altes Motiv, daß die Erfinder tönender Formen Menschenseelen dem Weg alles Vergänglichen zu entreißen vermögen, solange sie furchtlos vorwärtsschreiten und nicht in der rückblickenden Erinnerung der Vergangenheit verfallen. Oder warum konnte Orpheus zwar das Herz der Todesgötter menschlich rühren, so daß sie sich überwunden gaben, seine Geliebte aber nur bis an den Rand der Unterwelt hinaufführen?
 
Oder meint dies, daß die Analyse sich verbiete, weil gerade sie es ist, die auf Ereignisse, Phänomene, auf zu Vergangenheiten geschichtete Ausscheidungen des Lebens zurückschaut? Oder zeigt der Mythos nicht vielmehr, wie wir uns immer im Rahmen des toten Verstandesreiches bewegen, selbst dann, wenn wir einem Orpheus folgen? Die Analyse kann doch die Musikschöpfung nicht ersetzen oder per se hervorbringen.
 
Aber all das ist eine Sache der Ausführung. Wer weiß – am Ende zeigt sich ein wenig mehr vom erzeugenden Akt der tönenden und sich hörend vernehmenden Form? Oder aber, wenn nicht, warum dann nicht? Das bliebe begründungsbedürftig. Wir sollten uns nicht hier schon durch Vorbegriffe das Begreifen verstellen.
 
Wir kehren also zu unserer Frage zurück:
 
Wodurch wird es möglich, daß schon im Hören das Kristallin der harmonikal vernetzten Tonmoleküle aufgeschlossen wird?
 
Nein, schärfer gefaßt: Was macht es notwendig, schon im Hören, ja schon im inneren Hören, das aller äußeren Musikrezeption zugrundeliegt, die Mathematik und Chemie der Teilton-Verhältnisse im Sinne einer neuen Ordnung aufzuarbeiten?
 
Der Sachverhalt, so lautet die erste Antwort, daß die Intervalle und die konsonante Schachtelung der Teiltonreihe nur gewissermaßen eine Hälfte der harmonischen Ordnung darbieten. Wesentliches fehlt, nämlich die ganze funktionale Seite der Gegenspannung zum selbstgenügsamen Spiel des ewigen tonikalen Durdreiklangs mit seiner eingelagerten Dominante: Wir müssen zugeben, daß wir die Subdominante zum gegebenen Ausgangston nicht aus seiner natürlichen Teiltonreihe unmittelbar ableiten können. Zum zweiten, daß wir keine unmittelbare Ableitung des Moll-Tongeschlechts in ihr finden bzw. des tonikalen Moll-Dreiklangs, der gut der Hälfte aller möglichen Skalen zugrundeliegt.
 
Denn wir müssen deutlich unterscheiden zwischen naturaler Gegebenheit und schematischer Ableitung. Das heißt, daß wir zwar am abstrahierten Schema Ableitungen in mittelbarer Weise vornehmen können, daß diese aktiven Vorgehensweisen jedoch der unmittelbaren Gegebenheit nicht unterstellt werden dürfen. Vielmehr ist eben dies genau zu beachten: Was vollziehen wir, wenn wir mittelbare – ja eben nur über rechtfertigte Einzelschritte vermittelte – Ableitungen der Subdominante, des Quartenzirkels, des Molldreiklangs vornehmen? Diese drei Dinge hängen durchaus so zusammen, wie Dominante, Quintenzirkel und Dur-Tonikalität in der Teiltonreihe.
 
Das wird sofort deutlich, wenn wir den scheinbar einfachsten Ableitungsweg benennen: Die Spiegelung der Teiltonreihe an ihrem Ausgangston.
 
Denn unbestreitbar erscheint dann die Subdominante als die Spiegelung der Dominante am tonikalen Grundton; der Quartenzirkel als Umkehr des Quintenzirkels, einfach: als dessen andere Kreisrichtung; der Molldreiklang – wenn auch merkwürdigerweise subdominantisch - als die Spiegelfigur des tonikalen – nicht des dominantischen! – Durdreiklangs.
 
Man nehme etwa das Beispiel des Ausgangstones c. Die Reihe der potentiell mitschwingenden Teiltöne ist dann:
 
1.  2.   3.     4.   5.   6.    7.       8.    9.  10.   11.   12.  13.    14.  15.  16. Teilton
c  c¹  g¹     c²   e²  g²  -b²       c³   d³  e³  -fis³   g³ +as^{3 *)} -b³  h³  c⁴
1. – 2.          - 3.                        - 4. Oktave aufwärts
- Tonika-Durdreiklang -           – "Lydische" Skala - 

Die schematische Spiegelung dieser Reihe ergibt:

1.   2.   3.       4.   5.   6.     7.      8.    9.   10.   11.    12.  13.  14.  15.    16.
c    C   F₁      C₂  As₃ F₃   +D₃    C₃   B₄   As₄ +Ges₄ F₄  -E₄ +D₄ Des₄  C₅
1. – 2.            - 3.                         - 4. Oktave abwärts
- Subdom.-Molldreiklang -          -"Phrygische" Skala
 

Nun könnten wir uns darüber freuen, daß sich hier zusätzlich noch ein schwerlastiges phrygisches oder gar hypolydisches Moll anbahnt (11., auch 15. Teiltonspiegelung), während die entsprechende vierte Oktave des (natürlichen) Teiltonreihenausschnitts die angelegte Durtonalität mit Erhöhung der Quartstufe ins Lydische "übertreibt" (gleichfalls 11. Teilton) und jede Subdominantik peinlich vermeidet.

Aber diese Ableitung ist nichts als eine schematische Spiegelung, kommt in der Natur nicht vor - und bildet gleichwohl die Grundlage unseres gesamten tonalen Systems, über die Symmetrie der Kadenz weit hinaus.

Andrerseits ist ihr argumentativer Wert zur Lösung gleich dreier Ableitungsprobleme auf einen Schlag so bestechend, daß nichts uns dazu bewegen könnte, wieder zur allseits beliebten Erklärung des Moll-Dreiklangs als eines in der Terz ein wenig "getrübten" Dur-Dreiklangs zurückzukehren. Und woher näme die Tendenz zur Trübung ihre Kraft und Ursache? Selbst diese "Erklärung" ist begründungsblind.

Nur ist in weit stärkerem Maße diese Begründungsblindheit auch der Mangel unserer unmittelbaren Teiltonreihen-Spiegelung. Deren Schematismus kann nicht auf gleicher Ebene liegen wie das Faktum der mitschwingenden Frequenz-Vielfachen, der sogenannten Obertöne. Diese scheinbare "Untertonreihe" ist zunächst einmal bloß hypothetisch, und träfe sie auch mehr als die genannten drei "Fliegen" auf einen Streich.

Da Subdominantik, Quartenzirkel und Moll-Tonalität nicht Erfindungen der Musiktheoretiker, sondern zumindest im neuzeitlichen Abendland und allen folgenden Nachtländern eine funktional unentbehrliche Hälfte des faktisch genutzten harmonischen Systems sind, suchen wir also etwas, das aus der bloß schematischen Spiegelung eine faktische macht.

Auf jeden Fall wird diese Spiegelung wirklich vollzogen, nur eben nicht von der Natur allein in ihren schwingenden Materien, sondern im Hörer, besonders auch im innerlich singenden Hörer, dem Verwirklichungsorgan der Musik "im Geist und in der Wahrheit". Es ist ein deutender Akt, ein umdeutender Vollzug seitens desjenigen, der harmonische Verhältnisse zu verstehen sucht.

Und das heißt: Diese großangelegte Spiegelung ist nicht so simultan gegeben und gegenwärtig wie der stabile Durdreiklang der Teiltonreihe und dessen Auffüllung mit der immanenten Dominante – jeder dritte Teilton – und der "lydischen" Skala im vierten Oktavfeld. Sie wird Schritt für Schritt in einem Akt von Umdenken, Uminterpretieren, Basiswechseln vollzogen.

Also, um mit dem ersten potentiellen Schritt dieser Art anzufangen: der Ausgangston wird als zweiter Teilton einer tieferliegenden Reihe aufgefaßt. Das bringt scheinbar nicht viel, in Wirklichkeit erklärt es aber die große Bedeutung der einfachen Quinte, eben nicht Duodezime, also die praktikable Einpassung dieser Dominantengrundlage und tonikalen Dreiklangsumrahmung in den grundtonnahen Oktavraum, wie auch alle weiteren Oktavtranspositionen, etwa der skalar anmutenden Sekundintervalle der Teiltonreihe, hinab in die Nachbarschaft des Grundtons. Nun gut, wir wollen es nicht hier schon komplizieren.

Der nächste Schritt ist in all seiner Schlichtheit bedeutsamer: Umdeutung des Ausgangstons zum dritten Teilton bzw. harmonisch vereinfacht (oktaviert) zur Quinte eines tiefergelegenen, also zum Basiston der Subdominante.

Wesentlich ist zunächst, daß diese nach der Quinte zum Grundton wichtigste funktionale Stufe an den unteren Oktavenstockwerken der Teiltonreihe nicht teilhat, durch das interpretierende Umhören der vormaligen Tonika in die Dominante eines ideellen Basistons allerdings lokalisiert wird und in Funktion tritt. Daß dies tatsächlich ein epochenbildender Hürdensprung ist, zeigt der Sachverhalt, daß nur die abendländische Musik und die von ihr beeinflußten Musikkulturen die Subdominante harmonisch nutzen. Man vergleiche besonders die indische Musik, die bei aller melodischen Reichhaltigkeit zum einen keine Modulationen kennt, in denen ja solche Basistonwechsel notwendig wären, zum andern den Grundton mit der Tanbura immer durchtönen läßt, in der Regel mit dem dominantischen Bordun – eine deutliche Teiltonreihen-Fixierung, die allerdings von der Skalen- und Melodieführung der Ragas spannungsreich kontrapunktiert wird. Die melodieimmanente Harmonik versucht also die Naturlastigkeit des ewigen Borduns und des bekannten breiten, obertonüberreichen Klangbildes nach allen Regeln der Kunst auszugleichen.

Ähnliche Tendenzen sind im Blues bestimmend, sofern er tonikal fixiert ist. Ansonsten, in der strophischen Schematik und in den Klauseln, nutzt er allerdings die Rameausche Kadenz weidlich aus, wobei die Subdominante in der Regel auf der "dorischen" Blues-Skala nach Dur klingt.

Die Funktion der Oktavierung für das "Zusammenschieben" der weiten Intervalle und die Nutzung der Sekundschritte in der harmonischen Begründung der Skalen, nun mit der Umdeutung des Ausgangstons zum vierten Teilton einer ideellen Basis wieder wirksam, wurde bereits erläutert.

Für die Dreiklangsbildung ist dann noch die Ableitung der Terz aus dem fünften Teilton von Interesse, das heißt für unseren spiegelnden Modulationsschritt: Der Ausgangston wird als Durdreiklangs-Terz aufgefaßt, so daß nun der Grundton der unteren großen Mediante "beigehört" wird, die zwischen dem fünften Teilton – unserem Ausgangston – und der entsprechenden Basis auch zur Gänze als Dur-Dreiklang entwickelt ist. Und zwar erscheint diese wesentlich deutlicher und in der Ableitung schlichter, als die obere große Mediante, die wir, angeregt durch diesen Fund, nun in der naturalen Teiltonreihe aufsuchen: Dort ist sie durch die Vielfachen des fünften Teiltones eingelagert, versinkt allerdings im chromatischen Cluster der höheren Oktavbereiche und deren Unscheinbarkeit, ganz anders als die ungestörte Fülle der unteren großen Mediante im Funktionswechsel des Ausgangstones. Das eigentlichere Entsprechungsbild in der Teiltonreihe "oben" ist die große Terz vom 5. auf den 4. Teilton, so wie das Entsprechungsintervall für die Umdeutung der Tonika in eine Subdominante die Quart vom 4. zurück auf den 3. Teilton darstellt. Nur eben mit dem Unterschied zu deren simultaner Präsenz im tonikalen Durdreiklang, daß sie als eigenständige Schritte aus dem tonikalen Gefüge isoliert werden müssen, um funktional gewendet und sogar mit Bezug auf ihren Grundton moduliert zu werden: Wir könnten also überhaupt, statt den Ausgangston festzuhalten, genausogut einen seiner wesentlichen ersten Teiltöne fixieren und kämen zu dem gleichen Ergebnis.

Mit Umdeutung des Ausgangstons zu einer Dreiklangsquinte wird wieder die subdominantische Basis erreicht. Aber wie läßt sich damit der Molldreiklang ableiten, der bei der schematischen Spiegelung der gesamten Teiltonreihe so deutlich präsent war, in der schrittweisen, Schritt für Schritt gestuften Modulation nun allerdings verloren geht?

In der Tat ist der Weg wieder frei, der durch das Phantom eines subdominantischen Molldreiklangs in der "Untertonreihe" verstellt war. Wir sind davon entlastet, die Spiegelung der Teiltonreihe in der gleichen Absolutheit bzw. in gleichgewichtiger Symmetrie zu deren harmonischem Kristallin festzuhalten. Sobald einmal die Möglichkeit der modulierenden Umwendung der fundamentalen Teiltonintervalle freisteht, dürfen wir uns induktiv am Gegebenen orientieren: Welche Molldreiklänge sind uns vielleicht schon mit der Teiltonreihe selbst ermöglicht? Es ist ja nicht notwendig, deren Basis auf den "ersten Teilton" festzulegen; ganz im Gegenteil haben wir in diesem Verfahren ja die Basistöne aus der funktionalen Wertigkeit erst rückwirkend "erschlossen".

Vielfache eines Tones mit den gemeinsamen Vielfachen seiner Teiltöne:

                                  10                                       20  
                               9                                    18                                   27
                           8                              16                                24
                       7                          14                           21
                   6                     12                       18                       24
               5                10                  15                    20                   25
           4             8              12              16               20              24
       3          6          9         12          15          18          21          24         27
   2      4      6      8     10     12      14     16     18      20     22      24     26
1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

Ausgeführt am Beispiel des Ausgangstons c:

                                                 e3                                                                             e4
                                                         d3                                                                     d4         
                                                  c3                                                             c4                       
                                          -b2                                                     -b3                                    
                                   g2                                          g3                                             d4      
                           e2                                 e3                                        h3                                 e4
                    c2                          c3                           g3                              c4                          e4
              g1                 g2                  d3                    g3                       h3                  d4   
        c1        c2           g2           c3          e3             g3               -b3          c4           d4           e4
c      c1  g1  c2   e2    g2   -b2   c3   d3   e3  -fis3    g3   +gis3   -b3   h3   c4  cis4  d4  dis4  e4  
 
Die Reihen, die durch Umdeutung des Augsgangstons c zu einem ersten, zweiten usw. Teilton der nächsttieferen fünf möglichen Teiltonreihen entstehen:

1.Teilton:                                 c                                c1                              g1                      c2
2.Teilton:                C               c               g               c1            e1              g1           -b1      c2
3.Tt.:               F1           F        c         f             a       c1       -es1    f1         g1      a1      -h1  c2
4.Tt.:         C1         C        G     c      e       g        -b    c1    d1    e1     -fis    g1  +as1 -b1  h1 c2
5.Tt.: As2        As1     Es   As  c   es  -ges   as    b   c1  -d1  es1 -f1  ges  g1  as1
 
Reihen durch Umdeutung des dritten Teiltons (g1) zu einem ersten, zweiten usw.:

1.Teilton:                                 g1                                       g2                                     d3
2.Teilton:              g                 g1                    d2               g2                 h2                d3
3.Tt.:            c            c1          g1         c2                e2      g2         -b2        c3           d3
4.Tt.:       G           g       d1       g1      h1          d2      -f2    g2       a2      h2    -cis      d3    +es3
5.Tt.:  Es         es     b    es1    g1    b1   -des2   es2   f2    g2    -a2   b2    -c3 des3   d3    es3
 

Besonders ergiebig ist die schrittweise Umdeutung des ursprünglich fünften Teiltons (e2) zu einem ersten, zweiten usw. bis hinab zum fünften Teilton des ursprünglichen Ausgangston (c): Deutlich erscheint – in nur schematischer Simultaneität der realiter nichtsimultanen Reihen! – die saubere Ableitung des oberen Tetrachords der Durtonleiter auf dem Ausgangston (c) sowie der tonikaparallele Molldreiklang:

1.Teilton:                                                     e2                                     e3                                  h3
2.Teilton:                         e1                        e2                   h2              e3                  gis3         h3
3.Tt.:                  a                        a1            e2        a2              cis3    e3          -g3         a3      h3
4.Tt.:        e                      e1             h1       e2    gis2        h2      -d3   e3     fis3       gis3  -b3  h3
5.Tt.:  c                    c1           g1          c2   e2   g2    -b2       c3    d3  e3  -fis3   g3  gis3  -b3  h3
 
          c     e       a    c1    e1   – Molldreiklang
                                c1    e1   g1 a1 h1 c2   – Oberer Tetrachord
                                                                     e2   gis2        h2   - Obere große Mediante

Innerhalb der ursprünglichen Teiltonreihe findet sich tatsächlich ein Molldreiklang im Verhältnis der zehnfachen zur zwölffachen und zur fünfzehnfachen Frequenz des Ausgangstones; das sind die oktavierten Töne der oberen Mediante in Moll, also die parallele Molltonart zur Dominante, wenn man das traditonelle Funktionen-Schema zugrundelegt. Dies wäre also naturaliter die eigentliche Parallele zum tonikalen Grundakkord der Reihe, ihr immanent wie schon die Dominante selbst und die ins Lydische gekrümmte Dur-Skala eben des vierten Oktavabschnitts, in dem sich auch die drei Teiltöne unseres Dreiklangs suchen lassen. Der Mollakkord auf der unteren kleinen Mediante, den man als Parallele zu bezeichnen pflegt, ist hingegen nicht unmittelbar abzuleiten; er ergibt sich erst aufgrund einer modulierenden Umdeutung des Ausgangstones zum dritten Teilton, wie gehabt, also mit der Funktionalisierung des tonikalen Grundakkordes zur Dominante der nächsttieferen Quinte.

Aber wir sollten uns vor Induktionen, die sich in Unscheinbarkeiten verlieren, ebenso hüten wie vor einer begründungsblinden schematischen Deduktion der "Untertonreihe". Natürlich ließen sich Myriaden virtueller Welten aus dem fast schon kontinuierlichen Tonspektrum des fünften, sechsten, siebten usw. Oktavbereiches der Teiltonreihe ableiten. Darum geht es hier nicht; vielmehr zeigen wir mit der Notwendigkeit zur schrittweisen funktionalen Deutung jeder einzelnen Stufe ein Prinzip auf, das der simplen naturalen Gegebenheit des tonikalen Kristallgefüges nicht nur entgegensteht, sondern aus dessen inneren Symmetrien neue Grundmuster hervorspiegelt.

Dabei hat die Musikentwicklung der Neuzeit an diesem selbst schon ziemlich geistvollen "mathematischen" Naturstoff insofern großartige Arbeit geleistet, als sie mit den hin- und herdeutenden Wechselbezügen auch die grundlegende Vereinfachung gefunden hat, die das System der Schwingungsordnung zu neuen Dimensionen musikalischen Lebens aufgeschlossen hat: Die Temperierung der Intervalle, durch die erst kreisläufige Modulationen und konsequente Skalierungen in allen harmonischen Richtungen eröffnet worden sind.

Denn in der Tat begnügt sich das Hören mit Annäherungen des gegebenen Erscheinungsmaterials an die logischen und mathematischen Ordnungen seines Begreifens und seiner deutenden Erwartung, sonst wären Verzierungen, das Verziehen von Tönen, die sprachanaloge Gestaltung des einzelnen Klangbildes, Vibrato und Glissando in An- und Absprache sowie vor allem das verstehende "Zurechthören" all dessen, was menschliche Stimmen hervorsingen, nicht möglich.

In welchen Dimensionen also erlebt sich Musik?

Erscheinend in den drei Raumdimensionen, in denen sie sich kugelförmig in Schalen von Verdichtung und Verdünnung ausbreitet, hat sie ihre innere Differenzierung und ihren qualitativen Reichtum zunächst in der Zeit als der eigentlichen Matrix aller periodischen Vorgänge, aller Schwingungen und deren wiederum mehr oder weniger periodischen Ordnungen und lebendiger Ordnung der Ordnungen.

Darin dem Licht verwandt und in manchen Hinsichten komplementär – das uns in der Außenwelt die Oberflächen und äußerlichen Gestalten der Gegenstände mitteilt, in der Innenwelt des Bewußtseins aber gerade die logische Ordnung ihrer Beziehungen erhellt und erkenntnisstiftend ausleuchtet - offenbart die akustische Sphäre im Medium der räumlich-äußerlichen Dinge eher deren substantiellen Materialcharakter, zeigt Geschehnisse, Bewegungen und Tätigkeiten in kennzeichnender Weise an; in der Binnenwelt unseres Bewußtseins lebt sie dagegen als Basis von Sprache und Musik wie ein Empfindungsgewoge, bleibt inneres Sprechen und Singen, offenbart die Ozeane der Seele, deren geistige Durchdringung eher das Licht des Bewußtseins leistet. Aber die inneren Gesetzmäßigkeiten der Schwingungswelt sind der inspirierenden Quelle näher, trennen auch nicht so zwischen gestalteten Oberflächen außen und logischen Vergleichen innen, sondern lassen uns in immerwährender Keimung, in unerschöpflicher Geburt der Zeit aus dem ewigen Jetzt am nimmerendenden Vorgang der Weltschöpfung teilhaben. Innerlich-äußerlich singen wir mit. Und unsere deutende Erwartung hat wesentlichen Anteil daran.
 
Erweiterung dieser Thematik:
Hat der goldene Schnitt in der musikalischen Harmonik eine Funktion?
 
Anhang
zum (scheinbaren) großen Sekundschritt vom 13. zum 14. Teilton im obigen Beispiel – also einer scheinbaren Vergrößerung, nachdem doch vom 12. zum 13. Teilton schon eine kleine Sekunde angesetzt war.
 
Beim Ausgangston C ist der 12. Teilton ein G (ich nehme hier keine Rücksicht auf die vierte Oktave nach oben, es geht nur um den kleinräumigen Vergleich der Verhältnisse zwischen diesen Tönen), der 16. ist ein C, innerhalb dieser Quart liegen der 13., 14. und 15. Teilton. Der 15. hat viele Teiler, ist also harmonisch gut einzuordnen als Terz der Dominante bzw. (in völlig verschiedener Funktion, aber das ist ja gerade die Tür zur Tonartenmodulation der abendländischen Musik) als Dominantengrundton der oberen großen Mediante (der großen Terz, des E), und in der Leittonfunktion von H zu C ist das auch eine recht repräsentative kleine Sekunde, in der temperierten Stimmung allerdings ist der Schritt von H zu C etwas kleiner.
Rückwärts weiter: der 14. Teilton ist Oktavierung des 7. Teiltons (- müßte Lieblingsteilton von Anthroposophen sein...?-), der zwischen A und B liegt, etwas näher an B allerdings, deshalb -B (minus B); der 13. Teilton (hohe Primzahl, deshalb nicht gerade ein "Schlüsselton" harmonischer Wechselbäumchen) liegt etwa bei As, aber wohl etwas höher, so daß zwischen G und +As, +As und -B, -B und H, H und C vier verschiedene Sekundschritte gereiht sind, die sich immer weiter verkleinern und erst mit H zu C, dann weiter C zu Cis und Cis zu D eine relativ saubere kleine Sekunde nahe der temperierten kleinen Sekunde erreichen.
Dabei ist G zu +As natürlich eine Spur größer als +As zu -B, aber doch in beiden Fällen eher eine kleine als eine große Sekunde: das Minus und das Plus "macht's".

Das ist dem Phänomen der "verminderten Terz" vergleichbar, z.B. Cis zu Es, (etwa in dem berühmten pochenden Teilmotiv zwischen erstem und zweitem Sonatenhauptsatz-Motiv aus Beethovens Violinkonzert, erster Satz), die nur äußerlich wie eine große Sekunde aussieht, – allerdings ist letzteres eine notwendige Leistung der hörenden Deutung, während es bei der Teiltonreihe um kristalline naturale Verhältnisse handelt, deren Deutung und Umdeutung (und dazwischen auch: Temperierung) wie hier beschrieben erst die harmonischen Verhältnisse bildet. Auf der Grundlage einer C-Dur-Skala hören wir die Quint (G) als Dominantengrundton, die Septime (H) als Leitton, – die dazwischen liegenden Schritte (13. und 14. Teilton) hören wir uns zurecht als As und B, den einen leicht erhöht, den anderen deutlich hinabgedrückt (wie schon dessen tiefere Oktave, den 7. Teilton).
Interessant, wie gerade in den verschiedenen Moll-Skalen der abendländischen Harmonik ("natürliches, harmonisches und melodisches Moll") dieser Quartenraum einer gewissen Beliebigkeit und Verfügbarkeit ausgeliefert scheint. Das zeigt gerade an, wie wenig die naturalen Feinheiten höherer Primzahlen von unserer harmonischen Orientierung an den kleinsten (und eben nur den kleinsten) natürlichen Zahlen innerlich "verstanden" werden. Die Temperierung hat die (vom 10. bis zum 22. Teilton) gut 12 (!) geringfügig verschiedenen "kleinen Sekunden" zu einer einzigen gleichgeschaltet, die wohl der Leittonwirkung (15. zu 16.) oder der neapolitanischen Gleittonwirkung (17. zu 16.) am ehesten entsprechen könnte. Das Genaue überlasse ich hier den Thermometern (oder wer sonst mißt die Grade der Temperatur?)...
 

Das älteste der Wesen
Ein Wort im Geist gelesen
Des Geistes Sinngestalt
Die Raum und Leib durchkündet
Erscheinend sich empfindet
Im Sein Bewußtsein gründet
Das LICHT wird niemals alt!

Willst du mich mit deinem harten Glanze
Mit der Zähne Lächeln überzeugen?
Schneeverjüngt blühst du im Wolkenreigen
Bis der Schleier lodert fort im Tanze

Abendrot entblößt von deinem Lachen
Muß zu früh dein Treiben offenlegen
Willst du deine Glut am Frost erregen?
All dein Licht erstarrt zum Blick des Drachen

Sieh! Der Möwenmäuler sichelscharfe
Lästerlippen schäumen wütendweißen
Speichel aus und ihre Zungen reißen
Silberstürme aus der Strahlenharfe

Deine Lust verraten ihre Lieder
Deines Schweigens gläserne Gefühle
Splittern durch die Konsonanzenmühle
Weichgemahlen flockt dein Leib hernieder
 
 

Im Wald
 

Das Leichentuch des Lichtes wird zerfallen
Aus schwarzer Fäulnis glänzt ein frischer Segen
Und aus zerscherbten Pfützen wäscht der Regen
Ein Lächeln von verschimmernden Kristallen

Die Schmelze läßt den klaren Schmerz verschwimmen
Im lauen Einerlei gelaßner Lüste
Und durch die filigranen Strauchgerüste
Löst sich ein Seufzer leiser Vogelstimmen

Dort von der Buche spiegeldunklen Häuten
Von austernrauhen Eichen und Robinien
Siehst du der Mutter perlmuttweiche Linien
In die planetenreifen Tropfen gleiten

Ihr Brunnenlied im Grabesschoß der Erde
Erfüllt die arabesken Himmelsrisse
Aromisch mit dem Trunk der Finsternisse
In Knospenmündern quillt es still Es-werde
 
 

 Manches
 

Vogelgeschwätz und der Klüfte Gekalk
Regengepinsel und Pfützengespiegel
Hieroglyphische Fetzen und Siegel
Und auch den Wind und wohin er verweht
Sanskrit und Prakrit und manches Gedicht
Manches von dem was kein Lehrer versteht
Manches begreife ich gottloser Schalk
Aber die Menschen begreife ich nicht

Hat der

goldene Schnitt

in der musikalischen Harmonik

eine Funktion?

Goldener Schnitt: Formeln  *  Kiefernzapfen und Sonnenblumen  *  Intervalle  *  Planeten-Trigon

Goldener Schnitt: Formeln

"Goldener Schnitt" ist der Name eines Verhältnisses zweier Größen, das als besonders harmonisch angesehen wird; es findet sich zum einen in Kunstwerken, besonders in der Renaissance, da es unseren Ausgleichssinn in der Aufteilung von Flächen besonders zu befriedigen scheint, aber es ist auch in der Natur verbreitet – Beispiele dafür weiter unten.
Ein Verhältnis zweier Größen also wird als "goldener Schnitt" bezeichnet,
wenn die kleinere sich zu der größeren der beiden so verhält,
wie die größere sich zur Summe beider verhält:

a : b = b : (a + b)

Wenn a gleich 1 ist, beträgt b etwa 1,618;

ist a gleich 0,618, so ist b gleich 1.

0,618 : 1 entspricht ziemlich genau 1 : 1,618

Die rechte Seite dieser Gleichung läßt sich auch folgendermaßen formalisieren:

1:(1+1:(1+1:(1+1:(1+1:(1+...)))))

oder

(dasselbe in Form eines endlos gestaffelten Bruchs)

Und noch eine weitere Darstellungsart dieses Verhältnisses ist von besonderem Interesse; es ist geradezu die Jakobsleiter der Natur in die himmlische Harmonie dieses Verhältnisses hinein (wie der endlose Bruch oben sich dem Wert des goldenen Schnitts, der eine reelle Zahl in der Nähe von  1,618  ist, endlos annähert):

die Fibonacci-Reihe.

"Fibonacci" ist ein anderer Name des bedeutendsten Mathematikers der italienischen Renaissance, das ist Leonardo von Pisa. Dieser entdeckte also folgende schlichte Zahlenreihe als Schlüssel der "goldener Schnitt"-Phänomene in der Natur:

1,  1,  2,  3,  5,  8,  13,  21,  34,  55,  89,  144,  233,  377,  ...

Jede Zahl ist in dieser Reihe Summe ihrer beiden unmittelbaren Vorgängerinnen.
 
Da im weiteren Fortschreiten jede Zahl der Reihe, je höher sie ist,

um so "genauer" sich eben so zur folgenden Zahl verhält,

wie diese selbst sich zur Summe beider, also der nächsten Nachfolgerin, verhält,

nähert sich dieses Verhältnis mit immer höheren Zahlen der Reihe immer dichter dem goldenen Schnitt an,

und zwar für unsere Anschauung, unser Differenzierungsvermögen im Hören und Sehen schon sehr früh,

etwa bei den dreistelligen, ja schon bei den zweistelligen Zahlen der Reihe:

8 : 13  ist schon "genauer", näher an der reellen Zahl des goldenen Schnitts als beispielsweise 5 : 8.
 
1:1 ist noch Gleichheit, 1:2 Halbierung, 2:3 macht schon einen guten Schritt auf den goldenen Schnitt zu
- der eine reelle Zahl etwa bei 1:1,618 ist, etwa bei 0,618.0344 -
also kommt 3:5 (= 0,6) dem schon deutlich näher;
5:8 (= 0,625) ist schon für Menschenaugen schwer unterscheidbar,
8:13 (etwa = 0,615) ist noch besser,
13:21 (knapp über 0,619) für Menschen ein recht sauberer goldener Schnitt,
21:34 (knapp unter 0,618) oder 34:55 (knapp über 0,618) oder 55:89 (sehr knapp unter 0,618)
- ich möchte den sehen, der das mit dem bloßen Auge unterscheiden kann! -
89:144 (etwa = 0,618.0555) ist fast perfekt
- obwohl es Perfektion hier nicht einmal bei den denkbar größten Zahlen dieser unendlichen Reihe geben kann. Das überlassen wir der Sorgfalt der Götter in den irdischen Kompositen und dem Gesang der Engel in den himmlischen Kompositionen.

Überhaupt ist die 144 eine zauberhafte Zahl: nicht nur die zwölfte Fibonacci-Zahl, sondern zugleich auch die zwölfte Quadratzahl. Schnittstelle der beiden Reihen.

Wer eine Flächenanordnung nach dem goldenen Schnitt sehen möchte, vergleiche einfach die Abschnitte in der Seitenaufteilung der pagina domestica des Autors. Die Tabellen dort sind in Verhältnissen von  62% : 38%  der Seitenbreite (obere Tabelle), oder von  38% : 26% : 38%  der Seitenbreite (bei der unteren Tabelle) gefügt.

Wer die Spiralen am Boden eines Kiefernzapfens, in den Stachelstreifen eines Kaktus oder im Blütenteller einer Komposite (eines Korbblütlers wie z.B. eines Gänseblümchens, einer Margerite oder einer Sonnenblume) nachzählt, wird entdecken, daß jede Sorte von Spiralen (von denen es mindestens zwei auffällig gegenläufige Richtungssorten und bei weiterer Suche noch ein drittes, steiler einfallendes Spiralen-Strahlenrad gibt) – wer also jede der verschieden gerichteten Spiralen-Speichen-Sonnen vollständig durchzählt, findet eine der oben gegebenen Zahlen: bei Kiefernzapfen  5 : 8 : 13; bei Sonnenblumen höhere Anzahlen von Spiralen gleicher Sorte, wie  21 : 34 : 55.

Grob beschrieben entfalten sich bei den Samen- und Blütenpflanzen die Blätter von der linienhaften Senkrechten, die aus der Erde herausstrahlt, in den Luft- und Lichtraum hinein, in die flächenhafte Horizontale, um dort so viel Licht wie möglich einfangen zu können. Zunächst stockwerkartig, und zugleich in die Lücken gedreht, – allerdings (um das zwischenzuschieben) nicht ganz so in der Rhythmik natürlicher Zahlen, daß jedes dritte oder fünfte oder sechste, siebte Blatt sich schon genau mit dem ersten in der Rosette deckt, sondern so, daß bei den spiraligen Anordnungen in der Rosette der goldene Schnitt der Fibonacci-Reihe "hinein"-kommt in die Raumrhythmik und beim Erkennen des Betrachters wieder rechnerisch "heraus"-kommt.
Wer fragt sich nicht: wessen Intelligenz da in der Architektonik der Pflanzen die Spiralen gemäß der Fibonacci-Reihe ausgezählt und angeordnet hat? Hätte eine Botschaft aus dem All die Struktur der Quadratzahlen-Reihe, die SETI-Forscher würden ausflippen (wie in "Contact"); und wie interpretieren wir die "Botschaft aus dem Gänseblümchen" – ? "Weißt du wieviel Sternlein stehen...?" Warnung an die Biologen, damit die ihre kostbare Zeit sparen: Über solche Kinderliederfragen komme ich nicht hinaus, weder bisher noch im folgenden.
 
Diese Regelmäßigkeit findet sich nicht bei kristallin-symmetrischen Anordnungen der Blüten- und Fruchtblätter – da herrscht ein anderes Ordnungsprinzip vor, nämlich das der klaren Achsen-Symmetrie, möglichst über eine Vielzahl regelmäßig sternfömig einander kreuzender Symmetrie-Achsen -, sondern nur bei denen, die die Blätter oder (bei Bäumen) die Äste in einer Spirale um den Stengel "laufen" lassen; also bei einer Brennessel oder einem Kastanienbaum nicht, auch nicht bei den Achterquirls der Nadelbäume. Wohl aber bei gefüllten Blüten etwa der Rosaceen, besonders schön natürlich bei Rosen; aber auch bei den Blumenkohl-Spiralen, die gerne als Beispiel für natürliche Fraktale dienen: Goldener Schnitt ist der Idealfall der Selbst-Abbildung in den Natur-Fraktalen. Und so zusammengedrängt, daß die Spiralen alle miteinander leicht abzählbar werden, finden sie sich eben in den Kompositen und überhaupt bei vielen Blüten- und Fruchtständen (Ananas, Kiefernzapfen).
 
Ich würde gerne von einem Evolutionsbiologen hören, welche Rolle zwischen Zufall und überlebensstrategischer Selektion diese Verteilung der Blüten im Gänseblümchen haben soll. Es hat etwas vom "letzten Rest des physiko-theologischen Gottesbeweises", es zeigt etwas von Weisheit in der Natur, die weder in Zufall gründet noch in einem schnödem Wettbewerbsvorteil gegenüber den Organismen, die solch eine Anordnung ihrer Spiralen nicht haben. Schlicht gefragt: Warum ist die Spiralenzahl nicht gelegentlich 87 statt 89 oder 12 statt 13? Die Anzahlen der Spiralen in den Kompositen ist kein Mittelwert einer Zufallsstreuung, sondern eine exakt auszählbare Ordnung, und zugleich eine in ihrer Weisheit ästhetische, wundervolle, zauberhafte Selbstorganisation des Lebendigen.
 
Wenn Spiralen in den Blätter-Anordnungen und Blütenständen vorkommen, führen sie diese immer, ausnahmslos, in Fibonacci-Zahlen, und zwar in beiden Spiral-Richtungen: mit und gegen den Uhrzeigersinn bzw. hinein oder hinaus. Eine sich selbst genügende Harmonie.